LeetCode题练习与总结：x 的平方根--69

一、题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

0 <= x <= 2^31 - 1

二、解题思路

1. 问题转化：将求整数 x 的平方根转化为在整数范围内寻找一个数 y，使得 y * y 最接近但不超过 x。

2. 二分查找：初始化两个指针 left 和 right，分别指向 0 和 x。

3. 迭代过程：在 left 和 right 之间进行二分查找。

4. 中间值计算：在每次迭代中，计算中间值 mid，其中 mid = left + (right - left) / 2。

5. 条件判断：

如果 mid * mid 等于 x，则返回 mid。
如果 mid * mid 小于 x，则将 left 设置为 mid + 1。
如果 mid * mid 大于 x，则将 right 设置为 mid - 1。

6. 结束条件：当 left 大于 right 时，right 就是我们要找的答案。

7. 特殊情况处理：当 x 为 0 或 1 时，直接返回 x。

8. 结果返回：返回通过二分查找找到的平方根的整数部分。

三、具体代码

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0 || x == 1) {
            return x;
        }
        
        int left = 1;
        int right = x;
        int result = 0;
        
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (mid <= x / mid) {
                left = mid + 1;
                result = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        
        return result;
    }
}

四、时间复杂度和空间复杂度

1. 时间复杂度

外层循环的次数取决于 x 的值。在最坏的情况下，当 x 接近 2^31 - 1 时，外层循环可能需要进行大约 16 次迭代（因为 2^31 - 1 的平方根大约是 46000）。
每次迭代中，我们执行一次加法、一次减法、一次除法（或取模运算）和一次乘法。这些操作的时间复杂度都是 O(1)。
因此，总的时间复杂度是 O(log(x))，其中 x 是输入的整数。

2. 空间复杂度

代码中只使用了几个变量，如 left、right 和 result，这些变量的大小与输入无关，因此它们的空间复杂度是 O(1)。
没有使用额外的数据结构，如数组或链表，因此空间复杂度不会超过 O(1)。

五、总结知识点

整数平方根的计算：代码实现了一个函数 mySqrt，用于计算一个非负整数 x 的平方根。
二分查找算法：使用二分查找算法来逼近 x 的平方根。二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法，其时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数组的长度。
边界条件处理：在函数开始时，对特殊情况 x == 0 和 x == 1 进行了特殊处理，直接返回 x，因为这些情况下平方根就是 x。
位运算：在计算中间值 mid 时，使用了位运算 (right - left) / 2 来避免整数溢出的问题。
条件判断：使用 if-else 语句来根据 mid * mid 与 x 的关系调整搜索范围。
循环结构：使用 while 循环来迭代搜索过程，直到找到合适的平方根。
整数运算：代码中使用了整数运算，包括加法、减法、除法和取模运算。
返回结果：函数返回找到的平方根的整数部分。
错误处理：虽然在这个特定的问题中没有直接处理错误情况，但代码的结构允许在将来扩展错误处理逻辑。